Στατιστική

ΚΕΦ 2⁰

ΘΕΜΑ 1⁰

   Α ) Έστω t₁, t₂, …, t_ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,που έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s.

    i. Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών t₁-x , t₂-x,…, t_ν-x είναι ίσος με μηδέν.

    ii. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής CV του δείγματος;

Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σ-Λ

    α) To ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή από x_i έως x_k είναι F_k% -F_i%  .

    β) Το πλήθος των παρατηρήσεων που έχουν το πολύ την τιμή x_i είναι Ni.

    γ) Σε μία κανονική κατανομή η διάμεσος συμπίπτει με τη μέση τιμή.

    δ) Σε μία κανονική κατανομή, με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s, εκτός του διαστήματος                (x-3s, x+3s) δεν υπάρχουν παρατηρήσεις.

    ε) Η απόσταση των διαδοχικών κεντρικών τιμών κλάσεων ίσου πλάτους ενός δείγματος ισούται με το πλάτος των κλάσεων αυτών.

ΘΕΜΑ 2⁰       

Ένα μεσιτικό γραφείο κατέταξε σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους ένα δείγμα 60 οικοπέδων ανάλογα με την τιμή πώλησης σε ευρώ του τ.μ.       α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

κλασεις	xi	νi	Ni	fi	fi%	Fi%
1250-…				0,2
			30
…-2750
					10
Σύνολο		50

 β) Να βρεθούν τα ποσοστά των οικοπέδων που έχουν τιμή

    i. το πολύ 2000 ευρώ

    ii. τουλάχιστον 2500 ευρώ

γ) Να βρεθεί η μέση τιμή και η διάμεσος του δείγματος.

ΘΕΜΑ 3⁰

Ο μέσος μισθός 50 υπαλλήλων σε έναν οργανισμό είναι x=1500 €. Η τυπική απόκλιση των

μισθών είναι s=120  €.

α. Αν οι 20 εργαζόμενοι με τον υψηλότερο μισθό έχουν μέσο μισθό 1800€, να βρείτε το μέσο

μισθό των υπολοίπων υπαλλήλων.

β. Αν οι μισθοί όλων των υπαλλήλων αυξηθούν κατά 5%, να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική

απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των νέων μισθών.

γ. Ομοίως αν οι αρχικοί μισθοί όλων των υπαλλήλων αυξηθούν κατά 50€, να βρείτε τη μέση

τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των νέων μισθών.

ΘΕΜΑ 4⁰

Οι παρατηρήσεις t₁,t_2,…,t_ν ενός δείγματος μεγέθους ν έχουν μέση τιμή x και τυπική

απόκλιση s. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)=xlnx –xlnx+2s, x>0 . Αν η γραφική

παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(e,e) και η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x₀=1 είναι παράλληλη στον άξονα

x’x  τότε:

Α) Να δείξετε ότι s=1/2 και το x=1 .

Β) Αποδείξτε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Γ) Αν έχουμε κανονική κατανομή και 54 παρατηρήσεις βρίσκονται στο διάστημα (1.5, 2) να

βρείτε:

i. το μέγεθος του δείγματος.

ii. το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (0, 2)

Δ) Να βρείτε την ελάχιστη θετική τιμή του c που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία

παρατήρηση t₁,t₂,…,t_ν ώστε το δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτει να είναι

ομοιογενές.