ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΔΟΜΗ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
3-01 -15
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΘΕΜΑ A
Α1. Πότε μια συνάρτηση f είναι
τταραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα
[α, β]
του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Α2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = √Χ είναι παρ/μη στο (0,+ οο)
1
και ισχύει: f'(χ) =.---------- ' Μονάδες
82V χ
A3. Οι συναρτήσεις f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R και
ισχύουν f(0)
=2, f'(0) = 4, f’(1) = 4, g(0) = 1, g'(0)
= 1 και g'(2) = - 1.
α) Να
συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο( < , = , >) τη σχέση:
(f og)'(0).
. . (gof)'(O). Μονάδες
2
β) Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τα παρακάτω:
ι) lim(f(x)-g(x))=2.
χ->0
ii)
(f/g)'(0)=4.
iii)
Η εξίσωση
g'(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα.
ίν) Υπάρχουν
δύο σημεία της Cg στα
οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους κάθετες.ν) Η εξίσωση f"(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Μονάδες 10
γ) Αν υπάρχει η f -1 και είναι παραγωγίσιμη, τότε η f-1 (2) ισούται με:
Α. 0 Β. 1/4 Γ. 1/2 Δ. 1 Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Για τις συναρτήσεις f,g ισχύουν :
|f(x)-g(x)|≤√(x2+1) -1 , για κάθε x€R, g(0)=0
και g΄(0)=1
i)
Να αποδείξετε ότι η f
συνεχείς στο x0=0 (7 Μονάδες )
ii)
Nα βρείτε την παράγωγο της f
στο x0=0 (8 Μονάδες
)
iii)
Να αποδείξετε ότι οι f, g δέχονται κοινή εφαπτομένη (10 Μονάδες )
Μια συνάρτηση f
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει:
f’(χ)
+ 5ημχ-2
lim ——---- —----- = 4.
χ- 0 xlim ——---- —----- = 4.
Γ1. Να
αποδείξετε ότι f'(0) = 2. Μονάδες
5
Γ2. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της
γραφικής παράστασης της
f’ στο χ0 = 0. Μονάδες
6
Γ3. Να αποδείξετε ότι lim
(f '(ex) - 2)·
συνχ = 0. Μονάδες
7
Γ4. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Α(0,1) και ισχύει f’’(x)
+ f'(x) = χ + 1
για κάθε χ e R ,
να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια
συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
στο [α, β] με 0<α<β κα ι f’’(χ)
0 για κάθε χ ε (α, β).
Δ1. Αν (α+β)2 +(f(α)+f(β))2=(α-β)2+(f(α)-f(β))2,
δείξτε ότι
υπάρχει ένα τουλάχιστον
χ0 e (α, β) τέτοιο ώστε f(x0) = 0.
Μονάδες 6
Δ2.
Αν αf(β)=βf(α) , δείξτε ότι υπάρχει μοναδική
εφαπτομένη της Cf που διέρχεται
από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 7
από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 7
Δ3. Αν οι εικόνες των τα
σημεια Α(α,f(α)) ,Β(β,f(β))
κινούνται στη διχοτόμο 1ου
και 3ου τεταρτημορίου, και f΄΄(χ)
0 για κάθε χ ε (α, β), δείξτε ότι:
α) υπάρχει γe (α, β) τέτοιο ώστε f(γ)= ---------- Μονάδες 6
3
f’(ξ1) f’(ξ2)
€R, g(0)=0 και g΄(0)=1